Un po’ di geometria:
due rette parallele si possono incontrare?
La geometria ha affascinato l’uomo dall’alba dei tempi, grazie alla sua perfezione e ad alcune manifestazioni astratte, studiate ed approfondite più recentemente.
Sono stati tantissimi i personaggi che hanno lasciato il segno nel patrimonio artistico e culturale, da Platone con i suoi solidi, a Mondrian, da Pitagora a Escher, passando anche per lo scrittore Abbott fino al filosofo Schopenauer.

La geometria che la maggior parte di noi conosce è la geometria euclidea, ovvero che si basa sui cinque postulati di Euclide.
I postulati sono le basi assiomatiche della geometria, sono i mattoncini dai quali nascono tutti i teoremi che conosciamo noi oggi su questa disciplina.
Per associazione questi postulati possono essere visti come gli imperativi categorici di Kant, e ciò che ne deriva come gli imperativi ipotetici; quindi anche se non sono dimostrabili in modo rigoroso si prendono per veri perché facilmente intuibili e nel caso della geometria riproducibili armati di righello e compasso!

L’unico dei cinque postulati che può creare qualche problema è l’ultimo, poiché non si può dedurre e non è percepibile empiricamente. Questo è il famosissimo postulato che ammette l’esistenza di due rette parallele, ovvero due rette che hanno tra di loro una distanza costante per tutto il loro “tragitto” verso l’infinito.

La geometria euclidea ha avuto un enorme evoluzione, passando per punti, segmenti, rette, triangoli sul piano a dimensione due, piani nello spazio a tre dimensioni, geometrie in quattro dimensioni, fino ad arrivare ad un numero indefinito enne (n).

Questo modo di pensare la geometria è stato studiato ed esaminato fino a quando il V postulato di Euclide viene in qualche modo messo in discussione; si inizia a pensare dunque che due rette all’infinito possano incontrarsi o divergere e, con una buona dose di immaginazione, si possano immaginare e concepire nuove forme di spazio e di piano in questa nuova geometria che, mantenendo i primi quattro assiomi e cambiando l’ultimo, resta sempre valida!

Supponiamo che due rette divergano all’infinito:
la forma dello spazio non sarà più un cubo enorme, ma sarà un iperboloide e, poste su un piano, le figure tenderanno a “deformarsi”. Per esempio la somma degli angoli di un triangolo sarà minore di 180°.
Questa geometria, detta iperbolica, ha appassionato anche l’artista Escher, che la ripropose in numerose sue tassellazioni riprendendo il disco di Poincarrè.

Se invece le rette tendono a incontrarsi si parla di geometria sferica; lo spazio prende la forma, appunto, di una sfera.
Questa geometria è più facile da vedere: un semplice esperimento potrebbe essere quello di prendere un palloncino sgonfio e disegnarci una figura sopra, gonfiarlo e vedere sempre la stessa identica figura su un piano sferico.
Ovviamente in questo caso è semplice da intuire che un triangolo, ad esempio, che nel piano euclideo ha la somma degli angoli interni di 180°, sulla superficie sferica avrà la somma degli angoli maggiore di 180°!

Noi conviviamo all’interno di queste geometrie.
Basta vedere il pianeta Terra che di per sé è una superficie sferica, anche se nella vita quotidiana la percepiamo come una superficie euclidea perché siamo su una piccolissima parte di tale superficie.
La geometria che conosciamo e che studiamo tra i banchi di scuola può essere anche vista come una piccolissima parte di una geometria curva!

La geometria ha affascinato e continuerà ad affascinare, dalla perfezione dei solidi pitagorici fino alle bellezze dell’insieme di Mandelbrot.
Spero che questa piccolissima riflessione, per i curiosi, potrà essere un incipit ad approfondire, anche solo in linea teorica, questi argomenti, e magari iniziare ad apprezzare la conoscenza matematica.

Articolo a cura di Giorgio Gambino